6. Metoda skrócona
21 grudnia 20101.1. Metoda skrócona
Jeżeli wyrażenie logiczne dane jest w postaci implikacji, to tautologiczność (prawdziwość) takiego wyrażenia można sprawdzić tzw. metodą skróconą. Sprawdzamy tylko te podstawienia, przy których implikacja może być fałszywa, czyli następnik fałszywy a poprzednik prawdziwy( zgodnie definicją implikacji).
Przykład. Weźmy ponownie wyrażenie:
a = (p → q) → [(q → r) → (p → r)]
Aby a było równe zero, (p → q) musi być równe 1 i [(q → r) → (p → r)] = 0. Aby [(q → r) → (p → r)] = 0 , to [(q → r) = 1, a (p → r) = 0. Aby (p®r)=0 musi być p = 1, r = 0, a więc tylko przy tym podstawieniu formuła może być fałszywa (równać się 0). Szukamy jeszcze warunku dla zdania q. Skoro (q → r) musi być równe 1, a r = 0, to q musi być równe zeru, bo inaczej (q → r) nie byłoby równe 1. A więc tylko przypadek, gdy p = 1, r = 0, q = 0 może być tym, przy którym formuła jest równa 0. Patrząc na poprzednio przytoczoną macierz, widzimy, że i przy tym wartościowaniu a przyjmuje też wartość 1. A więc a jest tautologią.
Zadania. Sprawdzić tautologiczność następujących wyrażeń (metodą matrycową i skróconą):
1. (p → q) → (~ p ˅ q)
2. (~ p → p) → ~ p
3. (p → ~ p) → p
4. ~ ~ p → p
5. (p → ~ q) → (q → ~ p)
6. [(p → q) ˄ ~ q] → ~ p
7. [p → (q ˄ ~ q)] → ~ p
8. [p → (q→ r) → (p ˄ q) → r
9. [(p ˄ q) → r] → [(p → (q → r)]
10. [p → (q → r)] → [q → (p → r)]
11. [(p → r) ˄ (q → r)] → [(p ˅ q) → r]
12. [(p → q) ˄ (p → r)] → [(p → q ˄ r)]
13. p → (q → p)
14. (p ˅ q) → (~ p → q)
15. ~ (p ˅ q) ≡ ~ p ˄ ~ q
16. ~ (p ˄ q) ≡ ~ p ˅ ~ q
Podać też treściowe przykłady z życia potocznego dla niektórych z tych praw.