9. Rachunek zdań jako system aksjomatyczny
22 grudnia 2010Klasyczny rachunek zdań ujmowany był dotychczas w sposób syntetyczny, podając w twierdzeniu o rozstrzygalności łatwą metodę konstrukcji za pomocą spójników, zmiennych zdaniowych i nawiasów, dowolnej liczby praw tego rachunku. Zwykle jednak teorie dziedzin nauki – szczególnie teorie matematyki, powstają nieco inaczej. Tworzone są w sposób aksjomatyczny.
9.1. Aksjomaty klasycznego rachunku zdań
W każdym aksjomatycznym ujęciu pewnych teorii bierze się pod uwagę podstawowe własności przedmiotów rozważanych w tych teoriach. Na ogół są to własności najbardziej oczywiste, pewne. Stąd zdania wyrażające te własności zwie się pewnikami lub aksjomatami teorii.
Wszelkie inne twierdzenia teorii wyprowadza się z aksjomatów drogą logicznego wnioskowania. Wobec tego samym systemom logicznym również można nadać tego typu aksjomatyczną budowę.
W odniesieniu do klasycznego rachunku zdań istnieje bardzo wiele różnych układów aksjomatów równoważnych między sobą. Omówiony zostanie jeden z tych układów zwany aksjomatyką J. Łukasiewicza.
9.2. Pojęcie teorii
Sprowadzenie jakiejś teorii T (dziedziny wiedzy) do takiego wyglądu, że każde do tej pory otrzymane twierdzenie teorii T jest albo jej aksjomatem, albo zostało uzyskane z aksjomatów teorii T przez zastosowanie pewną liczbę razy reguł wnioskowania, zwie się formalizacją teorii T.
Konsekwencją (wnioskiem) pewnego zbioru X jest każde zdanie, które można dowieść w oparciu o zbiór X, czyli wyprowadzić z pewnej skończonej liczby zdań zbioru X, posługując się regułami wnioskowania.
Teorią zaś jest każdy taki zbiór zdań X, który ma te własności, że wnioski z teorii należą nadal do zbioru X.
Twierdzenie. Teoria jest zbiorem zamkniętym ze względu na swoje konsekwencje.
Można powiedzieć inaczej, że zbiór X jest teorią wtedy i tylko wtedy, gdy jest identyczny ze zbiorem swych konsekwencji, czyli gdy zachodzi
X = Cnq (X)
Cnq(X) – konsekwencja zbioru X.
Twierdzenie. Zbiór tautologii k.r.z. jest teorią.
Reguły wnioskowania.
K.r.z. posługuje się dwoma regułami wnioskowania, regułami dowodowymi. Umożliwiają one wyprowadzanie z praw danych innych dowolnych praw. Są nimi:
1. Reguła odrywania.
2. Reguła podstawiania.
Definicja (Reguła odrywania). Jeśli uznajemy pewien schemat będący implikacją a → b za prawo logiki oraz uznajemy za prawo logiki schemat a będący poprzednikiem schematu pierwszego, to za prawo logiki musimy też uznać schemat b będący następnikiem schematu pierwszego.
Definicja (Reguła podstawiania). Za prawo logiki musimy uznać wszystkie schematy, które są szczególnymi przypadkami schematów uznanych za prawa logiki.
Przykład 1. Jeśli uznajemy za prawo logiki schemat
p → (q → p) (prawo symplifikacji)
oraz uznajemy za prawo logiki schemat
(p → (q → p)) → ((p → q) → (p → p)),
To musimy uznać, zgodnie z regułą odrywania, za prawo wyrażenie
(p → q) → (p → p).
Przykład 2. Jeśli za prawo logiki uznajemy prawo wyłączonego środka p ˅ ~ p, to musimy uznać za prawo logiki wyrażenie
(p → q) ˅ ~ (p → q),
które powstaje z niego przez podstawienie p/(p → q), jak również formułę
(p → (q ˄ r)) ˅ ~ (p → (q ˄ r)),
która powstaje z poprzedniej tautologii przez podstawienie q/(q ˄ r), (czytaj q/(q ˄ r) – za q podstaw (q ˄ r)).