9. Rachunek zdań jako system aksjomatyczny cz.4

22 grudnia 2010

9.6.              Logika intuicjonistyczna

Intuicjonizm odrzuca pewne reguły wnioskowania logiki klasycznej, które powodują, że na przykład dowody istnienia pewnych obiektów nie podają żadnego sposobu na skonstruowanie tych obiektów. Dla przykładu kwestionowane jest prawo wyłącznego środka p ˅ ~ p.

Twierdzenie. Istnieją liczby niewymierne a, b Î R, takie że ab jest liczbą wymierną.

Dowód. Jeżeli jest liczbą wymierną, to bierzemy a = b = . Jeśli natomiast  jest liczbą   niewymierną,   to    bierzemy a =  oraz b = . Wówczas

() =  = 2.

To kończy dowód twierdzenia.

Powyższy dowód nie jest konstruktywny. Skorzystano w nim z prawa wyłącznego środka:  jest wymierne lub nie jest.

Zadania.

1. Z jakiego prawa można bezpośrednio otrzymać tezę:

T: (q → r) → [p → (q → r)].

Wskazówka. Zauważmy, że teza ta ma następującą budowę (schemat):

a → (b → g),

Należy więc wziąć tautologię, która będzie tak zbudowana, a następnie należy dokonać odpowiednich podstawień, czyli skorzystać z odpowiednich tautologii i odpowiednich podstawień.

2.Pokazać, że tezę o postaci

T: [(q → p) → r] → (p → r)

można bezpośrednio otrzymać z następujących tautologii:

  1. p → (q → p)
  2. (p → (q → p) → {[(q → p) → r] → (p → r)] → (p → r)}.

3. Jaka tautologia wynika bezpośrednio z praw:

  1. p → p
  2. (r → r) → {[r → (r → q)] → (r → q)].

4. Pokazać, że z prawa

  1. (p → q) → [( q → r) → (p → r)]

można wyprowadzić prawo:

  1. (q → r) → [(p → q) → (p → r)].

Wskazówka. Przyjąć takie prawo, w którym przez odpowiednie podstawienie w poprzedniku otrzyma się 1., a w następniku 2. Przez zastosowanie RO do prawa 2.

wpis by admin in Klasyczny rachunek zdań