Znamy kilka sposobów sprawdzania tautologiczności wyrażeń logicznych. Są nimi: 1. metoda matrycowa (zero – jedynkowa). 2. metoda skrócona (jeśli dane wyrażenie a stanowi implikacja). 3. metoda aksjomatyczna. 4. metoda założeniowa. Dwie ostatnie metody dla niektórych wyrażeń mogą okazać się zbyt trudne w wykazaniu ich tautologiczności. W roku 1965 J.A. Robinson opracował bardzo prostą regułę wnioskowania [...]
Wprowadzimy obecnie pewną terminologię, z której będziemy korzystać przy formułowaniu reguł tworzenia dowodów założeniowych. Wyrażenia F1, F2, …, Fn-1 występujące w wyrażeniu: (F) F1 → {F2 → [F3 → … → (Fn-1 → Fn) … ]} nazywać będziemy poprzednikami Fn. Dlaczego F1, F2, …, Fn-1 są poprzednikami Fn. Z budowy wyrażenia F można wnioskować, że [...]
1. Reguła odrywania (RO) stwierdza, że z danej implikacji i prawdziwości jej poprzednika, wynika prawdziwość jej następnika. W myśl tej reguły schemat p → q p ___________ q jest schematem logicznym. Jeśli więc do dowodu należy implikacja i jej poprzednik, to do dowodu, jako nowy wiersz wolno dołączyć jej następnik. Przykład. Jeżeli miasto x jest [...]
Aksjomatyczne ujęcie rachunku zdań polegało na tym, że obracaliśmy się tylko i wyłącznie w obszarze tautologii. W wielu sytuacjach, zdarzeniach, procesach rzeczywistych na strukturę logiczną tych procesów składają się elementy logiczne, które tautologiami nie są. Powstaje pytanie, jak w takich przypadkach wykazywać, że jednak proces jako całość tworzy twierdzenie logiki, czyli tautologię. Można ogólnie powiedzieć, [...]
9.6. Logika intuicjonistyczna Intuicjonizm odrzuca pewne reguły wnioskowania logiki klasycznej, które powodują, że na przykład dowody istnienia pewnych obiektów nie podają żadnego sposobu na skonstruowanie tych obiektów. Dla przykładu kwestionowane jest prawo wyłącznego środka p ˅ ~ p. Twierdzenie. Istnieją liczby niewymierne a, b Î R, takie że ab jest liczbą wymierną. Dowód. Jeżeli [...]
9.5. Twierdzenie o zupełności i pełności Twierdzenie. Zbiór tautologii klasycznego rachunku zdań jest teorią zupełną i pełną. W powyższy sposób sformułowane systemy logiczne nazywa się systemami dedukcyjnymi. Najważniejszą cechą systemów dedukcyjnych jest ich niesprzeczność. Pełność systemu oznacza, że każde wyrażenie prawdziwe rachunku zdań jest jego konsekwencją, czyli zostało udowodnione. Jak zatem należy formalnie rozumieć dowód [...]
9.3. Własności klasycznego rachunku zdań Własności te wynikają z ostatniego twierdzenia: 1. Każdy schemat będący podstawieniem tautologii jest tautologią. 2. Schemat powstały przez odrywanie z dwóch tautologii jest również tautologią. Własność 1. wynika z definicji podstawienia, a zwłaszcza z własności tautologii (zawsze prawdziwa). Własność 2. łatwo jest udowodnić. Przypuśćmy, że schemat a i a → [...]
Klasyczny rachunek zdań ujmowany był dotychczas w sposób syntetyczny, podając w twierdzeniu o rozstrzygalności łatwą metodę konstrukcji za pomocą spójników, zmiennych zdaniowych i nawiasów, dowolnej liczby praw tego rachunku. Zwykle jednak teorie dziedzin nauki – szczególnie teorie matematyki, powstają nieco inaczej. Tworzone są w sposób aksjomatyczny. 9.1. Aksjomaty klasycznego rachunku zdań W każdym aksjomatycznym ujęciu [...]
1. Usunąć z wyrażenia wszystkie równoważności stosując (p ≡ q) ≡ [(p → q) ˄ (q → p)]. 2. Usunąć z wyrażenia wszystkie implikacje stosując (p → q) ≡ (~ p ˅ q). 3. Dopóki można, to: * upraszczać stosując (p ˅ p) ≡ p oraz (p ˄ p) ≡ p. * usuwać zbędne negacje [...]
Wyrażenie a jest w postaci normalnej koniunkcyjno – alternatywnej a’ wtedy i tylko wtedy, gdy jest koniunkcją pewnej liczby alternatyw a1, a2, a3, …, an, przy czym członami alternatyw są zmienne zdaniowe lub negacje zmiennych zdaniowych: Twierdzenie. Jeśli a jest w postaci normalnej koniunkcyjno – alternatywnej i a jest koniunkcją alternatyw a1, a2, a3, …, [...]