9.6. Logika intuicjonistyczna
Intuicjonizm odrzuca pewne reguły wnioskowania logiki klasycznej, które powodują, że na przykład dowody istnienia pewnych obiektów nie podają żadnego sposobu na skonstruowanie tych obiektów. Dla przykładu kwestionowane jest prawo wyłącznego środka p ˅ ~ p.
Twierdzenie. Istnieją liczby niewymierne a, b Î R, takie że ab jest liczbą wymierną.
Dowód. Jeżeli jest liczbą wymierną, [...]
9.5. Twierdzenie o zupełności i pełności
Twierdzenie. Zbiór tautologii klasycznego rachunku zdań jest teorią zupełną i pełną.
W powyższy sposób sformułowane systemy logiczne nazywa się systemami dedukcyjnymi. Najważniejszą cechą systemów dedukcyjnych jest ich niesprzeczność. Pełność systemu oznacza, że każde wyrażenie prawdziwe rachunku zdań jest jego konsekwencją, czyli zostało udowodnione.
Jak zatem należy formalnie rozumieć dowód dowolnej konsekwencji.
Definicja. D [...]
9.3. Własności klasycznego rachunku zdań
Własności te wynikają z ostatniego twierdzenia:
1. Każdy schemat będący podstawieniem tautologii jest tautologią.
2. Schemat powstały przez odrywanie z dwóch tautologii jest również tautologią.
Własność 1. wynika z definicji podstawienia, a zwłaszcza z własności tautologii (zawsze prawdziwa). Własność 2. łatwo jest udowodnić.
Przypuśćmy, że schemat a i a → b są tautologiami k.r.z. Gdyby [...]
Klasyczny rachunek zdań ujmowany był dotychczas w sposób syntetyczny, podając w twierdzeniu o rozstrzygalności łatwą metodę konstrukcji za pomocą spójników, zmiennych zdaniowych i nawiasów, dowolnej liczby praw tego rachunku. Zwykle jednak teorie dziedzin nauki – szczególnie teorie matematyki, powstają nieco inaczej. Tworzone są w sposób aksjomatyczny.
9.1. Aksjomaty klasycznego rachunku zdań
W każdym aksjomatycznym ujęciu pewnych teorii [...]
1. Usunąć z wyrażenia wszystkie równoważności stosując
(p ≡ q) ≡ [(p → q) ˄ (q → p)].
2. Usunąć z wyrażenia wszystkie implikacje stosując (p → q) ≡ (~ p ˅ q).
3. Dopóki można, to:
* upraszczać stosując (p ˅ p) ≡ p oraz (p ˄ p) ≡ p.
* usuwać zbędne negacje stosując prawo podwójnego przeczenia
~ [...]
Wyrażenie a jest w postaci normalnej koniunkcyjno – alternatywnej a’ wtedy i tylko wtedy, gdy jest koniunkcją pewnej liczby alternatyw a1, a2, a3, …, an, przy czym członami alternatyw są zmienne zdaniowe lub negacje zmiennych zdaniowych:
Twierdzenie. Jeśli a jest w postaci normalnej koniunkcyjno – alternatywnej i a jest koniunkcją alternatyw a1, a2, a3, …, [...]
1.1. Metoda skrócona
Jeżeli wyrażenie logiczne dane jest w postaci implikacji, to tautologiczność (prawdziwość) takiego wyrażenia można sprawdzić tzw. metodą skróconą. Sprawdzamy tylko te podstawienia, przy których implikacja może być fałszywa, czyli następnik fałszywy a poprzednik prawdziwy( zgodnie definicją implikacji).
Przykład. Weźmy ponownie wyrażenie:
a = (p → q) → [(q → r) → (p → r)]
Aby a [...]
Ważną rolę w poprawnym wnioskowaniu odgrywają takie schematy zdań złożonych, że każde zdanie podpadające pod taki schemat jest zawsze zdaniem złożonym prawdziwym. Schematy takie zwiemy tautologiami klasycznego rachunku zdań lub po prostu twierdzeniami (prawami) klasycznego rachunku zdań.
Jako przykład tautologii klasycznego rachunku zdań służyć może schemat:
p ˅ ~ p,
zwany prawem wyłącznego środka.
Przykładami zdań o tym [...]
prawda logiczna – stała 1,
fałsz logiczny – stała 0
p
~ p
0
1
1
0
p
q
p ˅ q
p
q
p ˄ q
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
p
q
p → q
p
q
p ≡ q
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
Wartość logiczna zdania złożonego zależy jedynie od wartości logicznych zdań składowych.
Np. [(p ≡ q) ˄ (~ p ˅ q)] ˅ ~ (p → q)
{ (p ≡ q), (~ p ˅ q), ~ (p → q)}- składowe.
Tak [...]
Formę zdaniową rachunku zdań zawierającą zmienne zdaniowe nazywamy schematem zdania złożonego. Zdania podpadające pod schemat, to wszystkie zdania utworzone ze schematu przez dowolne podstawienia zdań pod zmienne zdaniowe.
Logika zbudowana ze zmiennych i 5 spójników zdaniowych (funktorów) oraz dodatkowo nawiasów (), [], {} nazywa się często logiką Arystotelesa.
W logice Arystotelesa funktory definiuje się następująco [...]